Sciences puresEn 2025, ça bouge pour les conjectures mathématiques!
Des chercheurs ont reformulé une partie de l’hypothèse de Riemann et remis en cause l’hypothèse du continu.
- Pham Tiep a résolu deux problèmes mathématiques datant de soixante ans.
- L’hypothèse de Riemann reste non prouvée, mais de nouvelles avancées existent.
- Maynard et Guth ont reformulé un aspect crucial de l’hypothèse.
- Les discussions autour de l’hypothèse du continu persistent, malgré son indécidabilité.
A priori, 2025 n’est pas un nombre particulier. Carré de 45, il admet quinze diviseurs, fait donc partie des nombres composés, mais il n’est ni premier ni palindrome ni parfait ni de Fibonacci. En revanche, l’année 2025 pourrait être importante pour les mathématiques, et, pourquoi pas, marquer le dénouement de décennies et parfois de siècles d’attente pour de grandes conjectures. Car dans ce domaine, il y a du neuf.
Au début de ce mois, un mathématicien de l’Université Rutgers-New Brunswick, Pham Tiep, est parvenu à résoudre deux problèmes ouverts qui remontent à plus de soixante ans, dont la conjecture de Brauer. Ce qui peut paraître récent par comparaison avec d’autres conjectures, telle celle liée aux nombres premiers jumeaux, ouverte depuis plus de deux millénaires et stipulant qu’il existe une infinité de premiers distants de deux unités. L’un des problèmes résolus par Tiep avait été posé par Richard Brauer en 1955 et porte sur la théorie des groupes finis. Pour faire simple, Tiep a mis à jour une règle cachée qui aide à mieux comprendre l’organisation et les symétries dans la nature et les sciences. Mais cette nouvelle n’est peut-être qu’un avant-goût de ce qui nous attend.
Le Graal des maths
Il y a en effet aussi du nouveau concernant le Graal des maths, l’Everest de la recherche, à savoir l’inaccessible hypothèse de Riemann. Alors bien sûr, elle n’est ni résolue ni prouvée – si tel avait été le cas, même les journaux télévisés en auraient parlé –, mais il y a cependant une avancée la concernant. La célébrité de l’hypothèse de Riemann tient dans son rapport avec la répartition des nombres premiers. La démontrer reviendrait à prouver qu’il existe un ordre caché derrière ceux-ci. Sa formulation est en revanche extrêmement ardue. Il y est question des zéros d’une fonction (c’est-à-dire des valeurs où celle-ci s’annule) – la fonction zêta de Riemann pour ne pas la nommer – et de la partie réelle de ces zéros, censée être toujours la même, soit ½, stigmatisant leur répartition sur une même droite. Le rapport avec les premiers réside dans le fait que la fameuse fonction zêta (somme infinie) peut s’apparier à un produit lui aussi infini portant sur tous les nombres premiers.
Infini et continu
La nouveauté est l’œuvre de deux chercheurs, James Maynard (qui est aussi le mathématicien ayant déterminé le plus petit écart se reproduisant à l’infini entre deux premiers consécutifs) et Larry Guth, qui ont reformulé tout le problème. En supposant que si un zéro de la fonction zêta possède une partie réelle distincte de 1/2, il devrait alors être associé à un polynôme de Dirichlet comportant une très grande valeur. Il leur restait donc à prouver que lesdits polynômes, dans le cas présent, ne peuvent justement pas prendre une si grande valeur. Les deux hommes ont-ils posé des jalons pour une future démonstration? On a envie de dire que oui, d’autant plus que leur méthode rappelle celle d’Andrew Wiles, qui a démontré le dernier théorème de Fermat en 1994 après plus de 350 ans en utilisant des outils mathématiques (courbes elliptiques et formes modulaires) a priori sans rapport avec la théorie des nombres. Mais les choses se bousculent aussi du côté de l’hypothèse du continu, qui a la particularité d’être le premier problème de la liste de Hilbert et d’avoir été prouvée indécidable en 1963.
En est-on bien sûr? Non, justement. Cette hypothèse, qui nécessite elle aussi de gros bagages mathématiques pour être comprise, s’interroge sur l’existence d’un ensemble dont le cardinal (nombre qui sert à mesurer la taille des ensembles) se situerait entre celui des entiers naturels et celui des nombres réels, tous deux infinis. Différentes démonstrations, dont l’une, célèbre, de Kurt Gödel en 1938, renvoient dos à dos les solutions à l’hypothèse. D’où son indécidabilité. En d’autres termes, qu’elle soit vraie ou fausse n’a aucune incidence sur la théorie des ensembles dont elle dépend. Selon Georg Cantor, père des nombres transfinis et des théories qui en découlent, elle doit être vraie ou fausse, toute autre alternative tendant à démontrer que la compréhension qu’on peut avoir sur l’infini est factice. Plus simplement, l’indécidabilité ne résout pas la question de l’infini.
Récemment discuté dans des sites et des revues, le problème se retrouve donc sur la table. Les autres énigmes des maths suivront-elles? Dans la liste de Hilbert établie en 1900 et précédemment citée, il en reste cinq non résolues, plus quelques-unes partiellement résolues. Cela sans compter les conjectures en dehors de cette liste (l’existence ou non des nombres de Lychrel, la conjecture de Syracuse, etc). Toutes sont mises à prix, rappelons-le. On espère pouvoir en reparler prochainement.
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