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SciencesDeux érudits ont remonté les siècles sur les traces de l’algèbre

Jérôme Gavin et Alain Schärlig voyagent dans le temps pour nous raconter un chapitre fondateur de l’histoire des maths dans «Et l’algèbre fut».

Les signes les plus courants du langage mathématique ont mis parfois des siècles à être inventés par différents érudits.
Les signes les plus courants du langage mathématique ont mis parfois des siècles à être inventés par différents érudits.
LUCIEN FORTUNATI

Rêve ou cauchemar? Pour des générations d’étudiants, le passage à l’algèbre, en mathématiques, constitue un obstacle qu’il n’est pas toujours aisé de surmonter. De l’arithmétique, qui s’apprend souvent à l’aide de tables, on passe à une abstraction plus mesurée, qu’il s’agit d’assimiler. Des chiffres naissent les lettres, puis d’autres symboles que le bon sens ne repère pas forcément et qui donnent des sueurs froides à tous ceux qui ne sont pas matheux dans l’âme, c’est-à-dire une forte majorité. Même plus tard, la présence d’équations dans un livre est redoutée. Certains adultes ont peur de ne pas comprendre. À tort. Les équations sont souvent rassurantes et bien plus claires que n’importe quel texte explicatif.

Sept siècles d’érudition

Toutes ces notions ne sont pas nées d’un claquement de doigts. Personne n’a un jour décidé d’inventer les maths et ses différentes catégories, algèbre, analyse, géométrie, et ainsi de suite. Dans un ouvrage que publie l’EPFL, «Et l’algèbre fut», deux mathématiciens pas tout à fait inconnus – ils avaient notamment publié en 2018 «Sept pères du calcul écrit» –, le Genevois Jérôme Gavin et le Vaudois Alain Schärlig, récidivent en retraçant la naissance de l’algèbre à travers différents écrits, du IXe au XVIe siècle. L’affaire s’apparente davantage à un livre d’histoire, et même de philologie, qu’à un traité mathématique. Précision utile puisque sa lecture peut dès lors intéresser un cercle de lecteurs plus large que les spécialistes.

L’ouvrage, sous-titré «De l’al-jabr au IXe siècle au signe égal en 1557», parcourt un peu plus de sept siècles dans un souci de chronologie et d’érudition. Pour évoquer l’algèbre, les deux auteurs ont traqué son apparition. Or celle-ci remonte au IXe siècle, dans les pays arabes, à Bagdad, via un ouvrage écrit par un certain Al Khwarizmi, le «Kitab». L’al-jabr, terme originel de l’algèbre, y est présenté comme un nouvel outil mathématique destiné à résoudre certains problèmes. Il ne semble s’appuyer sur aucun ouvrage préexistant. L’algèbre y est évidemment rudimentaire, puisque problèmes et équations sont tous rédigés en toutes lettres. Tout cela était-il dans l’air à l’époque? Quelles pratiques algébriques recouvre cet ouvrage fondateur? Mystère. On ne sait même pas dans quelle mesure tout cela intéressait des gens. Plus prosaïquement, il est bon de rappeler ici que les signes les plus courants du langage mathématique, soit +, -, = et x (qui désigne l’inconnue), sont loin d’avoir été inventés.

Révolution de l’imprimerie

Au fil des chapitres, les choses se précisent. Au XIIIe siècle, plusieurs auteurs successifs traduisent le «Kitab» en latin. Robert de Chester, Gérard de Cremone, noms exhumés de l’oubli sur lesquels les informations font défaut. Avec le célèbre «Liber abaci» de Léonard de Pise, écrit en 1202, l’algèbre conquiert cette fois l’Europe. Pour l’anecdote, y apparaît pour la première fois le terme «equatio». En revanche, les siècles suivants sont pauvres. Deux siècles et demi après la rédaction du «Liber abaci», l’invention de l’imprimerie est une révolution. Avec elles surgissent différents traités et la naissance de nouveaux symboles, comme + et -. Sous la plume d’un dénommé Johann Wiedmann, ceux-ci sont d’abord usités comme des abréviations. Leur apparition est capitale, et la lisibilité de l’algèbre, même si ces symboles sont loin d’être repris partout, va y gagner.

Reste un absent de taille, le signe =. Depuis le «Kitab», 700 années sont passées. En d’autres termes, les sept premiers siècles de l’algèbre se sont écoulés sans le fameux signe d’égalité. Est-ce imaginable? Difficilement. Sa toute première occurrence, sous la forme de deux traits parallèles horizontaux, surgit dans un ouvrage anglais, «Whetstone of Witte» de Robert Recorde, en 1557. Sur un plan purement théorique, la possibilité de résoudre des équations du troisième degré, c’est à Jérôme Cardan qu’on la doit. Mais «Et l’algèbre fut» s’arrête après ces deux découvertes. L’arrivée du signe d’égalité marque en effet la fin d’un premier grand épisode de l’histoire de l’algèbre, qui s’étend sur un peu plus de sept siècles.

La résolution d’équations à l’aide de nombres complexes, le théorème fondamental de l’algèbre, les hypercomplexes, les matrices et la topologie algébrique, tout cela viendra plus tard. Mais rassurez-vous, nos deux auteurs n’en parlent pas.

«Et l’algèbre fut», de Jérôme Gavin et Alain Schärlig, EPFL Press, 166 pages.

5 commentaires
    Baron Samedi

    Je reproche encore à mes divers profs du temps jadis de n’avoir jamais pris la peine de consacrer quelques heures pour nous apprendre l’histoire des mathématiques ! Au lieu de cela, on démarrait bille en tête, boum, prenez vos cahiers. On aurait voulu nous dégoûter de la chose (et dans mon cas avec plein succès) qu’on ne s’y serait pris autrement. Et je le regrette profondément...